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  重庆邮电大学学报(自然科学版)  2018, Vol. 30 Issue (6): 855-860  DOI: 10.3979/j.issn.1673-825X.2018.06.018
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引用本文 

郭一军, 徐建明. 考虑执行器饱和补偿的移动机器人自适应积分滑模控制[J]. 重庆邮电大学学报(自然科学版), 2018, 30(6): 855-860. DOI: 10.3979/j.issn.1673-825X.2018.06.018.
GUO Yijun, XU Jianming. Adaptive integral sliding mode control of mobile robotwith actuator saturation compensation[J]. Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications (Natural Science Edition), 2018, 30(6): 855-860. DOI: 10.3979/j.issn.1673-825X.2018.06.018.

基金项目

国家自然科学基金(61374103);安徽省高校自然科学研究基金(KJHS2015B11)

通信作者

郭一军 yjgkmlg@126.com

作者简介

郭一军(1977—), 男,浙江金华人,副教授,博士研究生,主要研究方向为非线性系统控制、自抗扰控制。E-mail:yjgkmlg@126.com

文章历史

收稿日期: 2018-03-03
修订日期: 2018-10-22
考虑执行器饱和补偿的移动机器人自适应积分滑模控制
郭一军1,2, 徐建明2     
1. 黄山学院 机电工程学院, 安徽 黄山 245041;
2. 浙江工业大学 信息工程学院,杭州 310032
摘要: 针对存在执行器输入饱和约束、模型参数不确定性以及外部扰动等因素影响下的移动机器人跟踪控制问题,提出一种考虑执行器饱和补偿的移动机器人自适应积分滑模控制方法。利用双曲正切函数对执行器输入饱和约束作近似处理,并将系统动力学模型表示为仿射系统形式。将执行器输入饱和约束的近似处理误差、模型参数不确定性以及系统外部扰动扩张为一个新的状态,进而设计扩张状态观测器对系统总和扰动进行估计,在此基础上设计系统自适应积分滑模控制器,从而改善普通滑模控制中抖振突出的问题,保证系统的跟踪控制性能。对所提控制方法进行了仿真验证, 结果表明, 所提控制方法在执行器输入饱和约束、模型参数不确定性以及外部扰动等因素影响下能够保证跟踪误差快速稳定收敛。
关键词: 移动机器人    饱和补偿    扩张状态观测器    积分滑模控制    
Adaptive integral sliding mode control of mobile robotwith actuator saturation compensation
GUO Yijun1,2 , XU Jianming2     
1. College of Electro Mechanical Engineering, Huangshan University, Huangshan 245041, P. R. China;
2. College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310032, P. R. China
Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China(61374103);The Scientific Research Foundation of the Education Department of Anhui Province(KJHS2015B11)
Abstract: In this paper, an adaptive integral sliding mode control method considering actuator saturation compensation is proposed for the tracking control of mobile robot with actuator saturation constraint, model parameter uncertainties and external disturbances. Firstly, the hyperbolic tangent function is used to approximate the actuator input saturation constraint, and the system dynamics model is expressed as an affine system form. Then, by taking the approximate processing error of actuator input saturation constraint, model parameter uncertainties and external disturbances as a new state variable, the extended state observer is designed to estimate the total disturbance of the system. Based on that, an adaptive integral sliding mode controller is designed for the system. Thus, the problem of chattering in common sliding mode control is improved, and the tracking control performance of the system is guaranteed. Finally, the simulation of the proposed control method is carried out. The simulation results show that the tracking errors can converge to zero fast and stably under the influence of actuator input saturation constraint, model parameter uncertainties and external disturbances.
Keywords: mobile robot    saturation compensation    the extended state observer    integral sliding mode control    
0 引言

近些年来由于移动机器人在工厂自动化、物流行业、智能家居、太空探索等领域的广泛应用,人们对其跟踪控制问题的研究引起了极大的兴趣。但由于移动机器人系统本身具有多变量、非线性和强耦合等特点,常规的控制方法很难满足其高精度的控制要求。另外,移动机器人实际控制过程中会受到系统自身参数摄动、外部环境干扰以及执行器饱和输入约束等问题的影响,尤其是执行器饱和输入约束问题不仅会影响系统的控制精度,严重时可导致系统的不稳定。因此,在设计控制器时需要补偿执行器饱和输入约束和系统不确定性因素对系统控制精度的不利影响。

当前,关于移动机器人的跟踪控制问题,常用的控制方法有反步控制法[1-3]、神经网络控制法[4-5]、滑模控制法[6-8]等。针对具有非完整约束移动机器人跟踪控制问题,文献[1-2]利用反步控制算法设计跟踪控制器,实现了移动机器人位姿跟踪误差全局一致有界。针对存在车轮打滑和外界扰动力矩影响情况下的移动机器人跟踪控制问题,文献[4]提出一种基于神经网络的跟踪控制器,保证了系统跟踪误差的全局渐近稳定。为了提高移动机器人系统的鲁棒性能及跟踪精度,文献[6]利用自适应二阶滑模控制技术设计跟踪控制器,实现了移动机器人对期望轨迹的高精度稳定跟踪,并消除了传统滑模控制中的抖振问题。以上文献虽从不同的角度实现了移动机器人的鲁棒跟踪控制,提高了系统的控制性能,但是已有研究成果多数只考虑系统内外部扰动因素对系统控制性能的影响,在设计控制器时主要考虑如何消除这些扰动对系统控制性能的不利影响,对于实际系统中存在的执行器饱和输入约束问题研究较少。

在移动机器人的实际控制过程中,执行机构的饱和问题通常是不可避免的。当控制器输出的控制信号大于执行机构所能提供的最大值时,控制饱和问题就发生了,如不进行有效处理可导致整个控制系统失稳。本文先利用双曲正切函数对执行器的饱和输入约束作近似处理,再将近似处理的误差看成系统总和扰动的一部分。从而可以通过韩京清教授提出的自抗扰控制技术,设计扩张状态观测器对系统的总和扰动加以估计和补偿。由于自抗扰控制技术对系统的总和扰动具有很好的估计性能,因此,在很多领域获得了广泛的应用[9-13]

积分滑模在常规滑模面中加入误差变量的积分项可有效消除系统的稳态误差[14-15],提高系统控制精度。本文结合扩张状态观测器和积分滑模控制技术各自的优势,并考虑执行器输入饱和约束问题来设计移动机器人跟踪控制器,提出了一种考虑执行器饱和补偿的移动机器人自适应积分滑模控制方法。一方面解决了系统输入饱和约束对跟踪控制性能的影响;另一方取消了普通滑模控制中对系统不确定性因素有界性的假设约束,使设计的滑模控制器更具一般性。

仿真结果表明,与固定增益的传统滑模控制方法相比,本文所提的考虑执行器饱和补偿的移动机器人自适应积分滑模控制方法不仅可使移动机器人快速稳定跟踪给定参考轨迹, 而且也可有效减弱传统滑模控制中的抖振现象,有利于控制方法的实际工程应用。

1 问题描述

轮式移动机器人的运动学和动力学模型[16-17]可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \mathit{\boldsymbol{D}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right)\mathit{\boldsymbol{\eta }} $ (1)
$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{M}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right)\mathit{\boldsymbol{\ddot q}} + \mathit{\boldsymbol{C}}\left( {\mathit{\boldsymbol{q}},\mathit{\boldsymbol{\dot q}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\dot q}} + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{d}}} = }\\ {\mathit{\boldsymbol{B}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right)\tau - {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right)\mathit{\boldsymbol{\mu }}} \end{array} $ (2)

(1)—(2)式中,q=[x y θ]TR3表示移动机器人的位姿矢量;$ \mathit{\boldsymbol{D}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&0\\ {\sin \theta }&0\\ 0&1 \end{array}} \right] $η=[υ ω]TR2表示机器人的速度矢量,由移动机器人的线速度和角速度组成;M(q)∈R3×3表示正定惯性矩阵;C(q, $ \mathit{\boldsymbol{\dot q}} $)∈R3×3表示离心力和哥氏力矩阵;G(q)∈R3表示系统的重力项,对于在平面运动的移动机器人该项为零;τdR3表示系统未知有界扰动;B(q)∈R3×2为输入力矩变换阵;τ=[τ1 τ2]TR2表示系统输入力矩矢量;AT(q)∈R3×1表示与系统非完整约束有关的矩阵;μR表示约束力矢量。

由(1)式可得

$ \mathit{\boldsymbol{\ddot q}} = \mathit{\boldsymbol{\dot D}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right)\mathit{\boldsymbol{\eta }} + \mathit{\boldsymbol{D}}\left( \mathit{\boldsymbol{q}} \right)\mathit{\boldsymbol{\dot \eta }} $ (3)

将(3)式代入(2)式中,并左乘DT可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{MD\dot \eta }} + {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{M\dot D\eta }} + {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{C\dot q}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{d}}} = }\\ {{\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}\tau - {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\mu }}} \end{array} $ (4)

由文献[18]可知,DTAT(q)=0,DTM$\mathit{\boldsymbol{\dot D}}$η+DTC$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$=0,则(4)式可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\bar M\dot \eta }} + {{\mathit{\boldsymbol{\bar \tau }}}_{\rm{d}}} = \mathit{\boldsymbol{\bar B\tau }} $ (5)

(5) 式中:$ \mathit{\boldsymbol{\bar M}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{MD}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} m&0\\ 0&I \end{array}} \right] $$ \mathit{\boldsymbol{\bar B}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{B = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/r}&{1/r}\\ {R/r}&{ - R/r} \end{array}} \right], {{\mathit{\boldsymbol{\bar \tau }}}_{\rm{d}}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{d}}} $

考虑系统执行器输入饱和约束,(5)式可重写为

$ \mathit{\boldsymbol{\bar M\dot \eta }} + {{\mathit{\boldsymbol{\bar \tau }}}_{\rm{d}}} = \mathit{\boldsymbol{\bar Bsat}}\left( \mathit{\boldsymbol{\tau }} \right) $ (6)

(6) 式中,sat(τ)=[sat(τ1) sat(τ2)]T为具有饱和约束的系统控制输入,其形式如下

$ sat\left( {{\tau _i}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{i\max }},}&{{\tau _i} \ge {u_{i\max }}}\\ {\tau ,}&{{u_{i\min }} \le {\tau _i} \le {u_{i\max }}}\\ {{u_{i\min }},}&{{\tau _i} \le {u_{i\min }}} \end{array}} \right. $ (7)

(7) 式中,uimax>0, uimin<0(i=1, 2)为执行机构所能输出控制力矩的上下界。

采用文献[19]中的方法对饱和约束作近似处理,引入如下双曲正切函数

$ g\left( {{\tau _i}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{i\max }} \times \tanh \left( {\frac{{{\tau _i}}}{{{u_{i\max }}}}} \right),}&{{\tau _i} \ge 0}\\ {{u_{i\min }} \times \tanh \left( {\frac{{{\tau _i}}}{{{u_{i\min }}}}} \right),}&{{\tau _i} < 0} \end{array}} \right. $ (8)

(8) 式中:$ \tanh \left( {\frac{{{\tau _i}}}{{{u_{i\max }}}}} \right) = \frac{{\frac{{{\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\max }}}}}} - \frac{{ - {\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\max }}}}}}}}{{\frac{{{\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\max }}}}}} + \frac{{ - {\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\max }}}}}}}};\tanh \left( {\frac{{{\tau _i}}}{{{u_{i\min }}}}} \right) = \frac{{\frac{{{\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\min }}}}}} - \frac{{ - {\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\min }}}}}}}}{{\frac{{{\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\min }}}}}} + \frac{{ - {\tau _i}}}{{{{\rm{e}}^{{u_{i\min }}}}}}}} $

sat(τi)可表示为

$ sat\left( {{\tau _i}} \right) = g\left( {{\tau _i}} \right) + d\left( {{\tau _i}} \right) $ (9)

(9) 式中,d(τi)=sat(τi)-g(τi)表示饱和约束近似处理误差,且|d(τi)|满足关系

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {d\left( {{\tau _i}} \right)} \right| \le \max \left\{ {{u_{i\max }}\left( {1 - \tanh \left( 1 \right)} \right),} \right.}\\ {\left. {{u_{i\min }}\left( {\tanh \left( 1 \right) - 1} \right)} \right\}} \end{array} $ (10)

进一步由拉格朗日中值定理可得

$ g\left( {{\tau _i}} \right) = g\left( {{\tau _{i0}}} \right) + {g_{{\xi _i}}}\left( {{\tau _i} - {\tau _{i0}}} \right) = {g_{{\xi _i}}}{\tau _i} $ (11)

(11) 式中:$ {g_{{\xi _i}}} = \frac{{\partial g\left( {{\tau _i}} \right)}}{{\partial {\tau _i}}}\left| {_{{\tau _i} = {\xi _i}}} \right.;{\tau _{i0}} < {\xi _i} < {\tau _i};{\tau _{i0}} = 0 $

将(9)式,(11)式代入(6)式可得

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot \eta }} = {{\mathit{\boldsymbol{\bar M}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar B}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_{{\xi _1}}}}&0\\ 0&{{g_{{\xi _2}}}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _1}}&{{\tau _2}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} - {{\mathit{\boldsymbol{\bar M}}}^{ - 1}}{{\mathit{\boldsymbol{\bar \tau }}}_{\rm{d}}} + \\ \;\;\;\;\;{{\mathit{\boldsymbol{\bar M}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar B}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {d\left( {{\tau _1}} \right)}&{d\left( {{\tau _2}} \right)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} $ (12)
2 控制器设计

由移动机器人模型(1)式、(2)式,可将系统分为速度环和位置环,需要分别设计运动学回路控制器和动力学回路控制器:①通过设计运动学回路控制器ηc,可以控制移动机器人的运动轨迹,使得其可以跟踪给定期望轨迹;②设计动力学回路控制器τ,使得(12)式中的η可以收敛于ηc

2.1 运动学回路控制器设计

设系统的期望轨迹为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_r}}\\ {{{\dot y}_r}}\\ {{{\dot \theta }_r}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _r}}&0\\ {\sin {\theta _r}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\upsilon _r}}\\ {{\omega _r}} \end{array}} \right] $ (13)

(13) 式中,υr, ωr分别为移动机器人参考轨迹的线速率和角速度。

则当前移动机器人位姿相对于期望位姿的偏差在移动机器人本地坐标系中可表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_x}}\\ {{e_y}}\\ {{e_\theta }} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{\sin \theta }&0\\ { - \sin \theta }&{\cos \theta }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_r} - x}\\ {{y_r} - y}\\ {{\theta _r} - \theta } \end{array}} \right] $ (14)

由(1)式,(13)式,(14)式可得

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot e}_x}}\\ {{{\dot e}_y}}\\ {{{\dot e}_\theta }} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega {e_y} - \upsilon + {\upsilon _r}\cos {e_\theta }}\\ { - \omega {e_x} + {\upsilon _r}\sin {e_\theta }}\\ {{\omega _r} - \omega } \end{array}} \right] $ (15)

依据(15)式,运动学回路控制器[19]设计为

$ {\mathit{\boldsymbol{\eta }}_{\rm{c}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\upsilon _{\rm{c}}}}\\ {{\omega _{\rm{c}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\upsilon _r}\cos {e_\theta } + {\beta _1}{e_x}}\\ {{\omega _r} + {\beta _2}{\upsilon _r}{e_y} + {\beta _3}{\upsilon _r}\sin {e_\theta }} \end{array}} \right] $ (16)

(16) 式中:β1, β2, β3>0为待设计的运动学控制器参数;υcωc分别为运动学回路控制器的线速度和角速度。

2.2 动力学回路控制器设计 2.2.1 扩张状态观测器设计

x1=[x11 x12]T=η,则(12)式可表示为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = \mathit{\boldsymbol{a}} + \mathit{\boldsymbol{b\tau }} $ (17)

(17) 式中:$ \mathit{\boldsymbol{a}} = - {\mathit{\boldsymbol{\bar M}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{\bar \tau }}_{\rm{d}}} + {\mathit{\boldsymbol{\bar M}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar B}}{\left[ {d\left( {{\tau _1}} \right)\;\;\;d\left( {{\tau _2}} \right)} \right]^{\rm{T}}};\mathit{\boldsymbol{b}} = {\mathit{\boldsymbol{\bar M}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar B}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_{{\xi _1}}}}&0\\ 0&{{g_{{\xi _2}}}} \end{array}} \right] $

a=a0ab=b0b,其中,a0b0分别为ab的估计值,由设计者依据经验确定。并定义扩张状态x2=[x21 x22]Ta,则(17)式可转化为如下的二阶系统

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_2} + {\mathit{\boldsymbol{a}}_0} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_0}\mathit{\boldsymbol{\tau }}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = \mathit{\boldsymbol{h}} \end{array} \right. $ (18)

(18) 式中,x2可看成系统的总和扰动由系统的参数摄动、饱和约束近似处理误差以及系统外部扰动等组成。在实际系统中总和扰动是不可测的,但可通过设计扩张状态观测器获得其估计值。扩张状态观测器设计为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{e}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}\\ {\mathit{\boldsymbol{e}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_2}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {fal\left( {{e_{11}},{\alpha _1},\sigma } \right)}&{fal\left( {{e_{12}},{\alpha _1},\sigma } \right)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{a}}_0} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_0}\mathit{\boldsymbol{\tau }}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_2} = - {\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {fal\left( {{e_{11}},{\alpha _1},\sigma } \right)}&{fal\left( {{e_{12}},{\alpha _1},\sigma } \right)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} \right. $ (19)

(19) 式中:e1=[e11 e12]Te2=[e21 e22]T为观测误差矢量;z1z2为扩张状态观测器的状态矢量;K1= diag{k11 k12}>0, K2=diag{k21 k22}>0为扩张状态观测器增益矩阵;非线性函数fal(·)的形式为

$ fal\left( \cdot \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left| {{e_{1i}}} \right|}^{{\alpha _i}}}{\rm{sign}}\left( {{e_{1i}}} \right),}&{\left| {{e_{1i}}} \right| > \sigma }\\ {{e_{1i}}/{\sigma ^{1 - {\alpha _i}}},}&{\left| {{e_{1i}}} \right| \le \sigma } \end{array}} \right. $ (20)

(20) 式中:i=1, 2;α1=0.5,α2=0.25;σ>0为待整定参数。

由文献[20-22]可知,通过选择合适的扩张状态观测器增益矩阵K1K2,系统(19)就能很好地估计系统(18)中的状态变量,总和扰动估计误差矢量e2中的各元素有界且可收敛到原点的某一领域内,即满足关系|e21|≤l1,|e22|≤l2,其中,li(i=1, 2)为正常数。

2.2.2 自适应积分滑模控制器设计

定义速度跟踪误差矢量为

$ \mathit{\boldsymbol{e}} = {\mathit{\boldsymbol{\eta }}_{\rm{c}}} - \mathit{\boldsymbol{\eta }} $ (21)

为了使得系统滑动模态渐近稳定及提高系统的控制精度和鲁棒性,本文选择如下积分型滑模面

$ \mathit{\boldsymbol{s}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_1}}&{{s_2}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{e}} + \mathit{\boldsymbol{\lambda }}\int {\mathit{\boldsymbol{e}}{\rm{d}}t} $ (22)

(22) 式中:积分项$ \int {\mathit{\boldsymbol{e}}{\rm{d}}t} $可以减小系统稳态误差;λ=diag{λ1 λ2}>0为正定的滑模面参数矩阵,该值可影响系统误差状态的衰减速度,λi(i=1, 2)值越大,跟踪误差收敛速度越快,但取值过大会加大系统的抖振,引起系统的不稳定。

由(18)式,(21)式及(22)式可得

$ \mathit{\boldsymbol{\dot s}} = {{\mathit{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\rm{c}}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_2} + {\mathit{\boldsymbol{a}}_0} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_0}\mathit{\boldsymbol{\tau }}} \right) + \mathit{\boldsymbol{\lambda e}} $ (23)

系统处于滑动模态的一个必要条件是$\dot s$=0,此时,系统对符合匹配条件的模型参数不确定性和外部扰动完全不敏感,故可在不考虑系统总和扰动的情况下求得系统用于维持滑动模态的等效控制

$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{eq}}}} = \mathit{\boldsymbol{b}}_0^{ - 1}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\rm{c}}} + \mathit{\boldsymbol{\lambda e}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_0}} \right) $ (24)

当系统的初始状态不在滑模面上,或系统受到不确定因素影响,那么系统状态轨迹就会偏离滑模面。所以在等效控制设计的基础上,还需要设计切换控制项τsw以保证系统状态在偏离滑模面时迫使其回到滑模面上来。因此,完整的滑模控制律可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} = {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{eq}}}} + {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{sw}}}} = {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{{\rm{eq}}}} + \mathit{\boldsymbol{b}}_0^{ - 1}\left( {{\mathit{\boldsymbol{K}}_3}{\mathop{\rm sign}\nolimits} \left( \mathit{\boldsymbol{s}} \right) - {\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right) $ (25)

(25) 式中,K3=diag{k31 k32}>0为切换控制项增益矩阵,其范数需满足‖K3‖>max{l1 l2},其中,max{l1 l2}为系统总和扰动估计误差上界的最大值。

由于系统估计误差的上界是未知的且难以准确获得。针对该问题,本文将结合参数自适应技术设计自适应积分滑模控制律τ

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} = \mathit{\boldsymbol{b}}_0^{ - 1}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\rm{c}}} + \mathit{\boldsymbol{\lambda e}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_0} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_3}{\rm{sign}}\left( \mathit{\boldsymbol{s}} \right) - {\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right) $ (26)

参数自适应更新律设计为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot k}_{31}} = {k_{a1}}{s_1}{\rm{sign}}\left( {{s_1}} \right)\\ {{\dot k}_{32}} = {k_{a2}}{s_s}{\rm{sign}}\left( {{s_2}} \right) \end{array} \right. $ (27)

(27) 式中:ka1>0;ka2>0。

2.2.3 稳定性证明

定理1  对于给定系统(12)和积分型滑模面(22),在所设计的自适应积分滑模控制律(26)和参数自适应更新律(27)的作用下,系统速度跟踪误差将渐近收敛于零。

  取候选Lyapunov函数

$ V = \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{a1}}}&0\\ 0&{{k_{a2}}} \end{array}} \right]s + \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}_3^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}}_3} $ (28)

(28) 式中,${\mathit{\boldsymbol{\tilde K}}_3}$=K3-K3*,其中,K3*=diag{k31* k32*}>0为总和扰动的理想上界值。

对(28)式求导可得

$ \begin{array}{l} \dot V\left( t \right) = {\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{a1}}}&0\\ 0&{{k_{a2}}} \end{array}} \right]\dot s + \mathit{\boldsymbol{\tilde K}}_3^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde K}}}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{a1}}}&0\\ 0&{{k_{a2}}} \end{array}} \right]\dot s + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {{k_{31}} - k_{31}^ * } \right){{\dot k}_{31}} + \left( {{k_{32}} - k_{32}^ * } \right){{\dot k}_{32}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{a1}}}&0\\ 0&{{k_{a2}}} \end{array}} \right]\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\rm{c}}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_2} + {\mathit{\boldsymbol{a}}_0} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_0}\mathit{\boldsymbol{\tau }}} \right) + \mathit{\boldsymbol{\lambda e}}} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {{k_{31}} - k_{31}^ * } \right){{\dot k}_{31}} + \left( {{k_{32}} - k_{32}^ * } \right){{\dot k}_{32}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{a1}}}&0\\ 0&{{k_{a2}}} \end{array}} \right]\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {k_{31}}{\rm{sign}}\left( {{s_1}} \right)}\\ { - {k_{32}}{\rm{sign}}\left( {{s_2}} \right)} \end{array}} \right] - {\mathit{\boldsymbol{x}}_2} + {\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {{k_{31}} - k_{31}^ * } \right){{\dot k}_{31}} + \left( {{k_{32}} - k_{32}^ * } \right){{\dot k}_{32}} \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{l_1}{k_{a1}}\left| {{s_1}} \right| + {l_2}{k_{a2}}\left| {{s_2}} \right| - k_{31}^ * {{\dot k}_{31}} - k_{32}^ * {{\dot k}_{32}} \end{array} $ (29)

显然,若k31*l1k32*l2$\dot V$(t)≤0,即当t→∞时s→0。同时,由(22)式可知,系统速度跟踪误差也将渐近收敛于零。

证毕。

3 仿真研究

为了验证本文所提算法的有效性,下面将对考虑执行器饱和补偿的普通滑模控制方法和本文所提的方法进行仿真对比研究。

方法1  考虑执行器饱和补偿的自适应积分滑模控制,自适应更新律参数设置为ka1=ka2=0.5。

方法2  考虑执行器饱和补偿的普通滑模控制。滑模面设计同(22)式,控制律设计为

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} = \mathit{\boldsymbol{b}}_0^{ - 1}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\rm{c}}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_0} + \mathit{\boldsymbol{\lambda e}} + \mathit{\boldsymbol{K}}_3^ * {\rm{sign}}\left( \mathit{\boldsymbol{s}} \right) - {\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right) $ (30)

(30) 式中,设定k31*=k32*=52。

为方便比较,仿真中参考轨迹的初始值、移动机器人的初始值和部分控制器参数设置相同。参考轨迹线速度和角速度分别设置为υr=5 m/s,ωr=1 rad/s,初始值为[xr(0) yr(0) θr(0)]T=[0 0 0]T。移动机器人的初始位姿为[0.1 0.1 π/9]T。运动学回路控制器的参数设置为β1=152,β2=80,β3=30;扩张状态观测器参数设置为k11=k12=100,k21=k22=10 000,σ=0.01;积分型滑模面参数设置为λ1=6,λ2=6;执行器饱和输入约束值取为uimax=|uimin|=10。

2种控制方法的控制效果如图 1~图 3所示,图 1为跟踪误差曲线;图 2为扩张状态观测器对系统总和扰动的观测误差曲线;图 3为控制信号曲线,图 4为方法1中参数ka1ka2自适应变化曲线。

图 1 2种方法跟踪误差曲线 Figure 1 Tracking errors of two different control methods
图 2 2种方法观测误差曲线 Figure 2 Observation errors of two different control methods
图 3 2种方法控制信号 Figure 3 Control signals of two different control methods
图 4 参数自适应曲线 Figure 4 Parameter adaptive curve

图 1可知,相比于方法2本文所提方法能够保证执行器存在饱和情况下良好的控制性能,系统跟踪误差具有较高的稳定精度。由图 2可以看出,方法1的观测误差比方法2的观测误差要小,具有更高的观测精度且观测误差的变化幅度也相对较小。由图 3可以看出,2种方法输出的控制信号都满足系统执行器饱和约束的要求,但方法1输出的控制信号抖振幅度更小,这是因为在方法1中控制器的切换控制增益自适应调整的结果。由图 4可以可知,自适应参数k31k32最终分别约收敛于10.4和24,远小于方法2中直接给定的参数值k31*=k32*=52。

4 结论

本文针对执行器输入饱和约束和系统不确定性因素影响下的移动机器人跟踪控制问题,提出一种自适应积分滑模控制方法。首先,利用双曲正切函数对系统饱和约束作近似处理,并将系统方程表示为仿射函数形式;然后,设计扩张状态观测器对执行器饱和约束和不确定性因素进行补偿,在此基础上结合参数自适应技术设计系统自适应积分滑模控制器,在保证系统跟踪误差快速稳定收敛的同时,还可减弱系统抖振幅度,提高系统的稳定性和鲁棒性;最后,仿真结果验证了所提控制方法的有效性。

参考文献
[1]
CHWA D. Tracking Control of Differential-Drive Wheeled Mobile Robots Using a Backstepping-Like Feedback Linearization[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics-Part A: Systems and Humans, 2010, 40(6): 1285-1295. DOI:10.1109/TSMCA.2010.2052605
[2]
YE J. Tracking control for nonholonomic mobile robots: Integrating the analog neural network into the backstepping technique[J]. Neurocomputing, 2008, 71(16): 3373-3378.
[3]
OBAID M A M, HUSAIN A R. Robust Backstepping Tracking Control of Mobile Robot Based on Nonlinear Disturbance Observer[J]. International Journal of Electrical & Computer Engineering, 2016, 6(2): 901-908.
[4]
HOANG N B, KANG H J. Neural network-based adaptive tracking control of mobile robots in the presence of wheel slip and external disturbance force[J]. Neurocomputing, 2016, 188(3): 12-22.
[5]
BOUKENS M, BOUKABOU A, CHADLI M. Robust adaptive neural network-based trajectory tracking control approach for nonholonomic electrically driven mobile robots[J]. Robotics & Autonomous Systems, 2017, 92(6): 30-40.
[6]
MATRAJI I, AL D A, HARYONO A, et al. Trajectory tracking control of Skid-Steered Mobile Robot based on adaptive Second Order Sliding Mode Control[J]. Control Engineering Practice, 2018(72): 167-176.
[7]
AZIZI M R, KEIGHOBADI J. Robust Sliding Mode Trajectory Tracking Controller for a Nonholonomic Spherical Mobile Robot[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2014, 47(3): 4541-4546. DOI:10.3182/20140824-6-ZA-1003.01430
[8]
YANG J M, KIM J H. Sliding mode control for trajectory tracking of nonholonomic wheeled mobile robots[J]. Robotics & Automation IEEE Transactions on, 2012, 15(3): 578-587.
[9]
SHEN Y, SHAO K, REN W, et al. Diving control of Autonomous Underwater Vehicle based on improved active disturbance rejection control approach[J]. Neurocomputing, 2016, 173(1): 1377-1385.
[10]
DONG W, GU G Y, ZHU X, et al. A high-performance flight control approach for quadrotors using a modified active disturbance rejection technique[J]. Robotics & Autonomous Systems, 2016, 83(9): 177-187.
[11]
LI S, XIA C, ZHOU X. Disturbance rejection control method for permanent magnet synchronous motor speed-regulation system[J]. Mechatronics, 2012, 22(6): 706-714. DOI:10.1016/j.mechatronics.2012.02.007
[12]
NOSHADI A, MAILAH M. Active disturbance rejection control of a parallel manipulator with self-learning algorithm for a pulsating trajectory tracking task[J]. Scientia Iranica, 2012, 19(1): 132-141. DOI:10.1016/j.scient.2011.11.040
[13]
费蓝冰, 楼飞, 缪国斌. 欠驱动步行机器人自抗扰控制系统的设计与分析[J]. 江苏大学学报:自然科学版, 2016, 37(5): 541-547.
FEI Lanbing, LOU Fei, MIAO Guobin. Design and analysis of active disturbance rejection control system for under actuation walking robot[J]. Journal of Jiangsu University: Natural Science Editions, 2016, 37(5): 541-547.
[14]
GUERMOUCHE M, ALI S A, LANGLOIS N. An Adaptive Integral Sliding Mode Control Design for Internal Combustion Engine Air Path[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2013, 46(25): 87-94. DOI:10.3182/20130916-2-TR-4042.00005
[15]
李政, 胡广大. 永磁同步电机调速系统的积分型滑模变结构控制[J]. 中国电机工程学报, 2014, 34(3): 431-436.
LI Zheng, HU Guangda. Sliding-mode Variable Structure Control With Integral Action for Permanent Magnet Synchronous Motor[J]. Proceedings of the CSEE, 2014, 34(3): 431-436.
[16]
LI Z, YANG C, SU C Y, et al. Vision-Based Model Predictive Control for Steering of a Nonholonomic Mobile Robot[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2016, 24(2): 553-564.
[17]
YANG H, FAN X, XIA Y, et al. Robust tracking control for wheeled mobile robot based on extended state observer[J]. Advanced Robotics, 2015, 30(1): 68-78.
[18]
CHEN C Y, LI T H S, YEH Y C, et al. Design and implementation of an adaptive sliding-mode dynamic controller for wheeled mobile robots[J]. Mechatronics, 2009, 19(2): 156-166. DOI:10.1016/j.mechatronics.2008.09.004
[19]
CHEN Q, TANG X Q. Finite-Time Neural Funnel Control for Motor Servo Systems with Unknown Input Constraint[J]. Journal of Systems Science & Complexity, 2017, 30(3): 579-594.
[20]
HAN J Q. Active Disturbance Rejection Control Technique[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2008: 197-201.
[21]
GAO Z. On the centrality of disturbance rejection in automatic control[J]. Isa Transactions, 2014, 53(4): 850-857. DOI:10.1016/j.isatra.2013.09.012
[22]
LI J, ZHONG Y. Robust speed control of induction motor drives employing first-order auto-disturbance rejection controllers[J]. Industry Applications IEEE Transactions on, 2012, 51(1): 712-720.